Hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, $f(-1)=-5$ và $f(3)=2$, khi đó ${\int }_{-1}^3{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Giá trị của tích phân ${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx$ bằng

Tích phân ${\int }_{-1}^2(3x^2+2)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b& \text{khi }x\ge 2\\ x^3-x^2-8x+10& \text{khi }x<2\end{array}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Tính $I={\int }_0^{4}f(x)dx$.

Tính tích phân $I={\int }_0^{\pi }\sin xdx$.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong $(C)$ trong hình vẽ. Tiếp tuyến $d$ của đồ thị $(C)$ tại điểm $A(-1;1)$ cắt đồ thị $(C)$ tại điểm thứ hai là $B(2;4)$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến $d$ và đồ thị $(C)$ (phần tô đậm) bằng $\frac{27}{4}$ (đvdt). Tính $I={\int }_1^{3}f(x)dx$?

[IMAGE_1]

Xét $f(x)=a{x}^5+b{x}^3+c{x}^2+dx+e(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$ sao cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị với hoành độ nguyên là $A,B,C\left(1;-\frac{197}{15}\right),D\left(2;-\frac{169}{15}\right)$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc ba đi qua các điểm $A,B,C,D$. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=1;x=2$ có diện tích bằng $\frac{11}{20}$ thì ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{m}{n}$, với $m,n$ nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $S=m\cdot n$.