Gọi $S$ là tập nghiệm thực của phương trình $\frac{1}{2}{\log }_3(x-1{)}^2+{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}(x+2)=0$. Hỏi $S$ có bao nhiêu phần tử?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 29 chọn đáp án A.

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2>0\\ x+2>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x>-2\end{array}.$
Phương trình đã cho tương đương với:
$\frac{1}{2}{\log }_3(x-1{)}^2+{\log }_{3^{-\frac{1}{2}}}(x+2)=0⟺{\log }_3|x-1|-2{\log }_3(x+2)=0$
$⟺{\log }_3|x-1|={\log }_3(x+2{)}^2⟺|x-1|=(x+2{)}^2.$
- Trường hợp 1: $x\ge 1$ (kết hợp với điều kiện $x\ne 1\Rightarrow x>1$):
$x-1=x^2+4x+4⟺x^2+3x+5=0\text{ (voˆ nghiệm)}.$
- Trường hợp 2: $-2<x<1$:
$-(x-1)=x^2+4x+4⟺x^2+5x+3=0⟺x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}.$
So sánh với điều kiện $-2<x<1$:
$x=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}\approx -0.697\in (-2;1)$ (thỏa mãn).
$x=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}\approx -4.303<-2$ (loại).
Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm thực, tập $S$ có 1 phần tử.

Chọn đáp án A.