Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $(C):y=\frac{-3x-1}{x-1}$ và hai trục tọa độ là $S$. Tính $S$?

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=-2$ và ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$ thì ${\int }_0^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích của hình phẳng (phần tô đậm) được tính theo công thức

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3$. Giá trị của $F(2)-F(0)$ bằng

Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, hai đường thẳng $d_1:x=a$ và $d_2:y=a$ ($a>0$). Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và $d_1$.

Một vật thể có đáy là hình tròn với bán kính bằng $1$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 1$), mặt cắt là một tam giác đều. Tính thể tích của vật thể đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).