Giả sử sự lây lan của một loại virus được cho bởi hàm số $N(t)=-t^3+12t^2$, $0\le t\le 12$ với $N$ là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm nghìn người) và $t$ là thời gian (tuần). Đạo hàm $N^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của virus. Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Câu 5: Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng $30\text{ cm}$ và chiều dài $80\text{ cm}$ như hình a, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh $x$ với $5\le x\le 8$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như hình b. Tìm $x$ để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (với kết quả được làm tròn đến hàng phần chục).

Nhà thầy Quang cách bờ biển $1\text{ km}$. Mỗi buổi sáng thầy chạy bộ từ nhà ra bờ biển sau đó chạy dọc bờ biển $500\text{ m}$, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy về nhà. Biết chợ hải sản cách bờ biển $400\text{ m}$ và cách nhà thầy Quang $1\text{ km}$, tính quãng đường ngắn nhất mà thầy Quang đã chạy trong mỗi buổi sáng (đơn vị $\text{m}$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Một hộp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được rải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi $x=x_0$ là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị $V_0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ thay đổi đi qua $M$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện $OABC$.

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 300)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-7x^2+1700x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=0,004x^2-1,6x+500+\frac{16000}{x}$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?