Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 300)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-7x^2+1700x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=0,004x^2-1,6x+500+\frac{16000}{x}$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Một công ty sản xuất một loại sản phẩm. Nếu có $x$ sản phẩm được bán ra thì bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán trên mỗi sản phẩm là $q(x)=10000-250x$ (nghìn đồng), với $0<x<40$. Gọi $f(x)$ là hàm doanh thu của công ty (đơn vị: nghìn đồng). Xem $y=f(x)$ là một hàm số xác định trên khoảng $(0;40)$.

Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính $AB=150\text{ m}$. Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc 3 km/h từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ bất kỳ trên cung $AB$. Tại vị trí $C$ người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục chạy bộ dọc theo cung nhỏ $CB$ đến $B$, sau đó chạy theo đường thẳng $BA$ để quay về $A$ với vận tốc 6 km/h (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến $A$ là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 3: Khi dạo chơi trên một công viên bạn Đoàn di chuyển trên đường Parabol, bạn Kết di chuyển trên đường tròn (minh họa bằng hình vẽ bên). Khoảng cách giữa đỉnh $A$ của Parabol và tiếp điểm $B$ của đường tròn là $16\text{ m}$; $HK\perp AB$ và $AH=6\text{ m},HK=9\text{ m}$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn Đoàn và Kết, biết rằng đường tròn có bán kính bằng $3\text{ m}$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4: Một chiếc đèn tròn được treo bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều và mặt phẳng $(ABC)$ song song với nền nhà (như hình bên dưới). Độ dài của mỗi đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L\text{ (cm)}$. Trọng lượng chiếc đèn là $24\text{ N}$ và bán kính chiếc đèn là $18\text{ cm}$. Giả sử các lực căng ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ trên mỗi sợi dây có cùng độ lớn là $F=F(L)$ (phụ thuộc vào độ dài $L$ của mỗi sợi dây). Biết rằng $\vec{P}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3$. Nếu chiều dài $L$ của mỗi đoạn dây $OA,OB,OC$ tối thiểu là $20\text{ cm}$ thì độ lớn $F$ của lực căng trên mỗi sợi dây có giá trị lớn nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB\parallel CD,AB=2CD,\widehat{ABC}=45^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AB$ và $SC\perp BC,SC=a$. Gọi góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\alpha$. Khi thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất, tính $\sin \alpha$.