Giả sử nhu cầu tiêu thụ một loại sản phẩm mới của doanh nghiệp $A$ được mô hình hoá bởi hàm số $p=\frac{1300}{\sqrt{x}}$, trong đó $p$ là đơn giá (tính bằng nghìn đồng) và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm. Chi phí (tính bằng nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm được cho bởi hàm số $C=10x+500$. Tìm mức giá (tính bằng nghìn đồng) để mang lại lợi nhuận tối đa.

Tuyến đường sắt cao tốc sau khi đưa vào hoạt động đã đem lại nhiều thuận lợi, thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội của khu vực. Biết rằng sau khi khai trương, thời gian giữa hai chuyến tàu liên tiếp là $t$ (đơn vị: phút), với $2\le t\le 20,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Sức chở của tàu cao tốc có liên hệ với $t$ như sau:
• Khi $10\le t\le 20$, tàu ở trạng thái đầy, sức chở là $1200$ người.
• Khi $2\le t<10$, sức chở giảm so với mức đầy; số người giảm tỉ lệ thuận với $(10-t{)}^2$. Biết rằng khi $t=5$ phút thì sức chở là $950$ người.

Gọi $P(t)$ (người) là sức chở của tàu khi thời gian giữa hai chuyến là $t$ phút. Giả sử lợi nhuận ròng của tuyến khi đó là $Q(t)=\frac{t}{5}P(t)-40t^2+660t-1372$ (triệu đồng). Hỏi khi $t$ bằng bao nhiêu phút thì lợi nhuận ròng trung bình mỗi phút $\frac{Q(t)}{t}$ đạt giá trị lớn nhất?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa cho bởi hàm chi phí $C(x)=\frac{23}{36}{x}^3+x^2+200$ (tính bằng nghìn đồng). Giá của vải lụa tơ tằm là $300$ nghìn đồng/mét và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm làm ra trong một ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày thì hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa.

Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp trong nửa đường tròn (tham khảo hình vẽ) có bán kính bằng $10\text{ (cm)}$ là

Nồng độ $C$ của một loại hóa chất trong máu sau $t$ giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức $C(t)=\frac{3t}{27+t^3}$ với $t\ge 0$. Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hóa chất trong máu là cao nhất? *(kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)*

Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận $32$ lít và $72$ lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là $10$ lít. Tính tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng.

Một hộ làm nghề thủ công sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 21$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa (tính bằng nghìn đồng), được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-25x+548$. Giả sử hộ làm nghề này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $272$ nghìn đồng/$1$ mét vải lụa. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Các khẳng định sau là đúng hay sai?