Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_3(x+3y)+x^2+3y^2+4xy-x-y=0$ và $x+y>0$, $x\in [-2024;2024]$?

Vì $x+y>0$ và $x+3y>0$, phương trình đã cho tương đương với:
${\log }_3(x+3y)+(x+3y)(x+y)-(x+y)=0$
$\iff {\log }_3[(x+3y)(x+y)]+(x+3y)(x+y)={\log }_3(x+y)+(x+y)$
Xét hàm số $f(t)={\log }_{3}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$(x+3y)(x+y)=x+y\iff x+3y=1\text{ (do }x+y>0\text{)}$
Khi đó $1=x+3y=(x+y)+2y>2y\iff y<\frac{1}{2}$.
Mặt khác, $x=1-3y\in [-2024;2024]\iff -2024\le 1-3y\le 2024\iff -\frac{2023}{3}\le y\le 675$.
Kết hợp $y<\frac{1}{2}$ và $y\in \mathbb{Z}$, ta được $y\in \{-674;-673;\dots ;0\}$.
Ứng với mỗi giá trị nguyên của $y$ có duy nhất một giá trị nguyên $x=1-3y$. Vậy có tất cả $675$ cặp số nguyên $(x;y)$.
Chọn đáp án D.