Có hai con tàu $A,B$ xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm $t$ (giờ), vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $\{\begin{array}{l}x=3-25t\\ y=-4+20t\end{array}$; vị trí tàu $B$ có tọa độ là $(4-25t;3-30t)$. Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất?

Hình vẽ bên mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí $I$ có tọa độ $(-2;1)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên hai trục là kilômét). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km. Khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí $B$ có tọa độ $(-3;4)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, khoảng cách từ điểm $M(3;-4)$ đến trục hoành bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, khoảng cách từ điểm $M(3;-4)$ đến trục hoành bằng

Ông An muốn trang trí trần nhà bằng hệ thống dây điện hình tam giác, giả sử trần nhà là hình chữ nhật $DEBF$. Ông dự kiến vị trí $A$ và $B$ sao cho $AB=5m$, $AD=1m$, $BE=4m$. Ông muốn tìm vị trí điểm $C$ trên $DE$ sao cho độ dài dây điện là ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình thap $ABCD$ vuông tại $A$ và có $AB=AD=\frac{1}{2}DC=a$. Gọi $BF$ là đường phân giác trong của tam giác $ABD$ $(F\in AD)$. Khi đó:

Trong một khuôn viên hình vuông $ABCD$ cạnh $10m$, ở đó có ba cây cổ thụ được trồng tại các vị trí $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AD,AB,BC$, với $AM=5m$, $AN=4m$, $BP=6m$ (tham khảo hình vẽ). Người ta muốn đào một cái ao có đường biên là một đường tròn $(C)$ nằm trong khuôn viên đó, sao cho khoảng cách ngắn nhất từ mỗi gốc cây cổ thụ đến đường biên $(C)$ bằng nhau. Khi đó tâm $I$ của đường tròn $(C)$ là điểm cách hai cạnh $AB,AD$ lần lượt là $a(m)$ và $b(m)$, đồng thời bán kính tối đa của ao là $R(m)$. Tính $a+b+R$? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)