Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ song song với đường thẳng $y=9x-14$?

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3$.

Gọi $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $y=(3x_0^2-3)(x-x_0)+y_0=(3x_0^2-3)x-3x_0^3+3x_0+y_0$.

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ song song với đường thẳng $y=9x-14$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}3x_0^2-3=9\\ -3x_0^3+3x_0+y_0\ne -14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0^2=4\\ -3x_0^3+3x_0+(x_0^3-3x_0+2)\ne -14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=\pm 2\\ -2x_0^3\ne -16\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=\pm 2\\ x_0\ne 2\end{array}\Rightarrow x_0=-2$.

Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ song song với đường thẳng $y=9x-14$.