Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2023 và log 2 ( 2 x + 2 ) + x = 2 y + 4 y ?
Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2023 và log 2 ( 2 x + 2 ) + x = 2 y + 4 y ?
Chọn một phương án bên dưới để kiểm tra đáp án ngay:
Đáp án chính thức: B
Hướng dẫn giải chi tiết
**Chọn B**
log 2 ( 2 x + 2 ) + x = 2 y + 4 y log 2 2( x + 1) + x = 2 y + 22 y log 2 ( x + 1) + x + 1 - 2 y + 22 y
Xét f (t ) = t + 2t với t ∈ ℝ . Ta có f ' ( t ) = 1 + 2t. ln 2 0 ∀t ∈ ℝ f (t ) đồng biến trên ℝ .
(*) f []log 2 ( x + 1) ]] = f ( 2 y ) log 2 ( x + 1) = 2 y x + 1 = 22 y x = 4 y - 1
Vì 0 ≤ x ≤ 2023 0 ≤ 4 y - 1 ≤ 2023 1 ≤ 4 y ≤ 2024 0 ≤ y ≤ log 4 2024 5, 49
y ∈ 0;1; 2;3; 4;5 . Với mỗi giá trị của y thì có duy nhất 1 giá trị của x.
Vậy có 6 cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đề bài.
log 2 ( 2 x + 2 ) + x = 2 y + 4 y log 2 2( x + 1) + x = 2 y + 22 y log 2 ( x + 1) + x + 1 - 2 y + 22 y
Xét f (t ) = t + 2t với t ∈ ℝ . Ta có f ' ( t ) = 1 + 2t. ln 2 0 ∀t ∈ ℝ f (t ) đồng biến trên ℝ .
(*) f []log 2 ( x + 1) ]] = f ( 2 y ) log 2 ( x + 1) = 2 y x + 1 = 22 y x = 4 y - 1
Vì 0 ≤ x ≤ 2023 0 ≤ 4 y - 1 ≤ 2023 1 ≤ 4 y ≤ 2024 0 ≤ y ≤ log 4 2024 5, 49
y ∈ 0;1; 2;3; 4;5 . Với mỗi giá trị của y thì có duy nhất 1 giá trị của x.
Vậy có 6 cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đề bài.
