Cho ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x^2+x+2}-\sqrt[3]{3x+5}}{x^2-3x+2}\right)=\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản; $a,b$ là số nguyên). Tính tổng $P=a^2+b^2$.

Biến đổi tử số bằng cách thêm bớt $2$:
${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{(x-1)(x-2)}-{\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{(x-1)(x-2)}$.
- Giới hạn thứ nhất:
${\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-2)(\sqrt{x^2+x+2}+2)}=\frac{1+2}{(1-2)(2+2)}=-\frac{3}{4}$.
- Giới hạn thứ hai:
${\lim }_{x\to 1}\frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)(\sqrt[3]{(3x+5{)}^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4)}=\frac{3}{(1-2)(12)}=-\frac{1}{4}$.
Kết quả giới hạn là $-\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$.
Do đó $\frac{a}{b}=-\frac{1}{2}⟹a=-1,b=2$.
Tổng $P=a^2+b^2=(-1{)}^2+2^2=5$.
Chọn đáp án A.