Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có tia $DA$ cắt tia $CB$ tại điểm $P$. Lấy điểm $X$ bất kỳ trên cạnh $CD$. Gọi $J$, $K$, $L$ tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADX$, $BCX$, $PAB$.
a) Chứng minh rằng $O$, $J$, $K$, $L$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $JOK$. Chứng minh rằng khoảng cách từ $H$ đến $CD$ bằng $LP$.

a) Rõ ràng các đường tròn $(J)$, $(K)$, $(L)$ đồng quy tại điểm Miquel $T$ của tam giác $PCD$ ứng với bộ điểm $X$, $A$, $B$.

Do đó $JL\perp AT$, $KL\perp BT$, suy ra
$$\angle JLK=180^{\circ }-\angle ATB=\angle DPC=180^{\circ }-\angle JOK,$$
suy ra $LJOK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $Y$, $Z$ theo thứ tự là điểm đối xứng của $L$ qua $OJ$, $OK$; $M$ là điểm đối xứng với $P$ qua $L$. Khi đó
$$\angle LAM=\angle LMA=\angle PBA=\angle ADC.$$
Ta có $YZ$ là đường thẳng Steiner của $L$ ứng với tam giác $OJK$ nên $YZ$ đi qua trực tâm $H$ của tam giác $OJK$.
Mặt khác $AD$ và $YL$ có chung đường trung trực $OJ$ nên $ADYL$ là hình thang cân, suy ra $DY=AL$.

Ngoài ra $\angle YDC=\angle ADY-\angle ADC=\angle DAL-\angle LAM=90^{\circ }$.

Tương tự $CZ=AL$ và $\angle DCZ=90^{\circ }$. Từ đó suy ra $DCYZ$ là hình chữ nhật.
Vậy $d\left(H;CD\right)=d\left(Y;CD\right)=YD=LA=LP$.