Đề Thi Olympic Truyền Thống 30/4 Lần Thứ XXX Toán 10 2026

Tìm tất cả các số thực $x>0$, $y>0$, $z>0$ thoả mãn:
$$\{\begin{array}{l}x(x-3)+2y(y-3)-9z=0,\\ x(2x-9)-12y+z(z-15)=0,\\ -6x+y(y-9)+2z(z-6)=0.\end{array}$$

Tìm tất cả các số thực $a$, $b$, $c$ sao cho mỗi đa thức $x^2-3x+a$, $x^2+x+b$ có 2 nghiệm thực phân biệt và là nghiệm của đa thức $x^3-x^2+cx+4$.

Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 2$ sao cho mỗi số $2^2\cdot n-1$, $2^3\cdot n-1$, $\dots$, $2^n\cdot n-1$ là số nguyên tố.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có tia $DA$ cắt tia $CB$ tại điểm $P$. Lấy điểm $X$ bất kỳ trên cạnh $CD$. Gọi $J$, $K$, $L$ tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADX$, $BCX$, $PAB$.
a) Chứng minh rằng $O$, $J$, $K$, $L$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $JOK$. Chứng minh rằng khoảng cách từ $H$ đến $CD$ bằng $LP$.

Một quân xe di chuyển 63 nước đi trên bàn cờ vua $8\times 8$, đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và mỗi nước đi nó chỉ di chuyển từ một ô sang một ô có chung cạnh. Đánh số các ô của bàn cờ từ 1 đến 64 theo thứ tự mà quân xe đi qua (vị trí ban đầu của quân xe được đánh số 1). Gọi $n$ là hiệu số lớn nhất giữa các số của hai ô có chung cạnh. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$ là bao nhiêu?