Tìm tất cả các số thực $x>0$, $y>0$, $z>0$ thoả mãn:
$$\{\begin{array}{l}x(x-3)+2y(y-3)-9z=0,\\ x(2x-9)-12y+z(z-15)=0,\\ -6x+y(y-9)+2z(z-6)=0.\end{array}$$

Cách 1. Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ ba, ta thu được
$$3x^2-3z^2=0,$$
dẫn đến $z=x$ (do $x>0$, $z>0$).

Thế $z=x$ thì phương trình đầu tiên trở thành $x^2-12x+2y^2-6y=0$, còn phương trình thứ hai trở thành $3x^2-24x-12y=0$.

Do đó $y=\frac{x^2-8x}{4}$. Thế ngược lại vào phương trình đầu tiên, ta có
$$x^2-12x+2\cdot \frac{(x^2-8x{)}^2}{16}-6\cdot \frac{x^2-8x}{4}=0$$
$$\iff 8x^2-96x+x^4-16x^3+64x^2-12x^2+96x=0$$
$$\iff x^4-16x^3+60x^2=0$$
$$\iff x^2(x^2-16x+60)=0$$
$$\iff x^2(x-6)(x-10)=0.$$

Vậy $x=6$ hoặc $x=10$. Với $x=6$ ta có $y=-3$, mâu thuẫn.
Với $x=10$ ta thu được $y=5$.

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được rằng bộ $(x;y;z)=(10;5;10)$ thoả mãn hệ phương trình đã cho.

Cách 2. Lấy phương trình thứ nhất cộng với phương trình thứ hai rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ ba, ta thu được
$$3x^2-3z^2=0,$$
dẫn đến $z=x$ (do $x>0$, $z>0$).

Thế $z=x$ thì phương trình đầu tiên trở thành $x^2-12x+2y^2-6y=0$, còn phương trình thứ hai trở thành $3x^2-24x-12y=0$. Do đó
$$2\left(x^2-12x+2y^2-6y\right)-\left(3x^2-24x-12y\right)=0,$$
Suy ra $x^2=4y^2$, dẫn đến $x=2y$ (do $x>0$, $y>0$). Do đó $x=z=2y$.

Thay $z=2y$ và $x=2y$ vào phương trình đầu tiên, ta được
$$6y^2-30y=0,$$
Suy ra $y=5$ do $y>0$.

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được rằng bộ $(x;y;z)=(10;5;10)$ thoả mãn hệ phương trình đã cho.