Một quân xe di chuyển 63 nước đi trên bàn cờ vua $8\times 8$, đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và mỗi nước đi nó chỉ di chuyển từ một ô sang một ô có chung cạnh. Đánh số các ô của bàn cờ từ 1 đến 64 theo thứ tự mà quân xe đi qua (vị trí ban đầu của quân xe được đánh số 1). Gọi $n$ là hiệu số lớn nhất giữa các số của hai ô có chung cạnh. Hỏi giá trị nhỏ nhất có thể có của $n$ là bao nhiêu?

Trước hết, xét cách đi hình con rắn như sau của quân xe: bắt đầu từ góc dưới bên trái, đi sang phải, mỗi nước sang ô bên cạnh cho đến hết hàng, sau đó đi lên ô ở hàng ngay trên, rồi đi sang trái, mỗi nước sang ô bên cạnh cho đến hết hàng, rồi đi lên ô ở hàng phía trên, v.v. Với cách đi này, ta dễ thấy rằng hiệu số lớn nhất của 2 ô chung cạnh bằng 15.

Ta chứng minh đây là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Giả sử ngược lại rằng $n<15$. Xét các số ở hàng trên cùng.
Vì hiệu giữa hai số kề nhau trong hàng này không vượt quá 14, nên quân xe đi từ một số nhỏ hơn đến một số lớn hơn ở trên hàng này mà không đi qua một ô ở hàng dưới cùng (vì để xuống đó cần ít nhất 7 nước, và để quay lại cũng cần ít nhất 7 nước, cộng thêm một nước trong chính hàng dưới).

Do đó quân xe đã đi qua tất cả các ô của hàng trên cùng mà không đi xuống hàng dưới cùng.
Tương tự, quân xe di chuyển qua các ô của hàng dưới cùng mà không đi lên hàng trên cùng. Điều này có nghĩa là tất cả các số ở hàng trên cùng đều lớn hơn (hoặc đều nhỏ hơn) các số ở hàng dưới cùng.

Tương tự, tất cả các số ở cột ngoài cùng bên trái đều lớn hơn (hoặc đều nhỏ hơn) các số ở cột ngoài cùng bên phải.
Không mất tính tổng quát, giả sử các số ở cột ngoài cùng bên trái lớn hơn các số ở cột ngoài cùng bên phải, còn các số ở hàng dưới cùng lớn hơn các số ở hàng trên cùng.
Bây giờ, gọi $A$ là số của ô góc trên cùng bên trái và $B$ là số của ô góc dưới cùng bên phải.
Theo giả thiết, nếu xét theo cột thì $A>B$, còn nếu xét theo hàng thì $A<B$, mâu thuẫn.