Tìm tất cả các số thực $a$, $b$, $c$ sao cho mỗi đa thức $x^2-3x+a$, $x^2+x+b$ có 2 nghiệm thực phân biệt và là nghiệm của đa thức $x^3-x^2+cx+4$.

Cách 1 (1 điểm). Do $x^2-3x+a$, $x^2+x+b$ có tổng cộng 4 nghiệm, còn $x^3-x^2+cx+4$ có tối đa 3 nghiệm thực nên $x^2-3x+a$ và $x^2+x+b$ phải có nghiệm chung. Gọi $t$ là nghiệm chung, như vậy: $t^2-3t+a=0;t^2+t+b=0$.

Suy ra $4t+b-a=0$, do đó $t=\frac{a-b}{4}$.

(0.5 điểm) Ngoài ra, rõ ràng ta phải có
$$(x^3-x^2+cx+4)(x-t)=(x^2-3x+a)(x^2+x+b).$$
So sánh hệ số $x^3$ ở hai vế, ta được $t=1$, do đó $a=b+4$.

(1 điểm) Khi đó: $(x^3-x^2+cx+4)(x-1)=(x^2-3x+a)(x^2+x+b)$.

So sánh hệ số $x^2$, $x$ và hệ số hằng ở hai vế, ta được:
$$\{\begin{array}{l}c+1=2b+1\\ -c+4=-2b+4\\ -4=b(b+4).\end{array}$$

Từ đây, dễ dàng suy ra được $c=-4;b=-2$ và do đó $a=2$.

(0.5 điểm) Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được với $a=2$, $b=-2$ và $c=-4$ thì các đa thức $x^2-3x+2$, $x^2+x-2$, $x^3-x^2-4x+4$ có các nghiệm $1$, $2$ và $1$, $-2$ và $-2$, $1$, $2$.

Cách 2 (0.5 điểm). Do $x^2-3x+a$, $x^2+x+b$ có tổng cộng 4 nghiệm, còn $x^3-x^2+cx+4$ có tối đa 3 nghiệm thực nên $x^2-3x+a$ và $x^2+x+b$ phải có nghiệm chung. Gọi $t$ là nghiệm chung.

(0.5 điểm) Theo định lý Viète, tổng hai nghiệm của $x^2-3x+a$ bằng 3 và tổng hai nghiệm của $x^2+x+b$ bằng $-1$.

Khi đó $x^2-3x+a$ có hai nghiệm là $t$ và $3-t$, $x^2+x+b$ có hai nghiệm là $t$ và $-1-t$.

(0.5 điểm) Do đó $x^3-x^2+cx+4$ có ba nghiệm là $t$, $3-t$ và $-1-t$. Theo định lý Viète, $t+3-t-1-t=1$, suy ra $t=1$.

(1 điểm) Thay nghiệm $x=1$ vào 3 đa thức ban đầu, ta được
$$1^2-3\cdot 1+a=0\Rightarrow a=2;$$
$$1^2+1+b=0\Rightarrow b=-2;$$
$$1^3-1^2+c\cdot 1+4=0\Rightarrow c=-4.$$

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được với $a=2$, $b=-2$ và $c=-4$ thì các đa thức $x^2-3x+2$, $x^2+x-2$, $x^3-x^2-4x+4$ có các nghiệm $1$, $2$ và $1$, $-2$ và $-2$, $1$, $2$.