Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[A,BC,D]$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác $ABC$ và $DBC$ đều nên $AM\perp BC$, $DM\perp BC$, do đó góc nhị diện $[A,BC,D]$ là $\widehat{AMD}=\alpha$. Ta có $AM=DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $AD=a$. Định lí cosin trong tam giác $AMD$: $\cos \alpha =\frac{A{M}^2+D{M}^2-A{D}^2}{2AM\cdot DM}=\frac{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-a^2}{2\cdot \frac{3a^2}{4}}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{3a^2}{2}}=\frac{1}{3}$. Vậy chọn đáp án D.