Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng 2. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$, $AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Góc giữa hai đường thẳng $EG$ và $FM$ là $\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $D(1;\sqrt{3};0)$, tam giác $BCD$ đều cạnh 2 nên trực tâm $G$ trùng trọng tâm $G(1;\frac{\sqrt{3}}{3};0)$. Đỉnh $A$ nằm trên đường thẳng qua trọng tâm vuông góc mặt phẳng $(BCD)$: $A(1;\frac{\sqrt{3}}{3};h)$ với $h^2=4-1-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$, tức $h=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Suy ra $E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3})$, $F(1;0;0)$, $M(1;\frac{2\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{6}}{3})$.

a) $\overrightarrow{GE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3})$, $\overrightarrow{MF}=(0;-\frac{2\sqrt{3}}{3};-\frac{\sqrt{6}}{3})$. Tích vô hướng: $0+\frac{2\cdot 3}{18}-\frac{6}{9}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\ne -\frac{1}{4}$. Sai.

b) $MF=\sqrt{0+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt{2}$. Đúng.

c) Với gốc $A$: $\overrightarrow{GE}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD})$. Đúng.

d) $|GE|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}}=1$, $|MF|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{MF}|=\frac{1}{3}$, nên $\cos \alpha =\frac{1/3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}\ne \frac{\sqrt{2}}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ được $\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{MF}=-\frac{1}{3}$, không bằng $-\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MF=\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}=\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GE}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}-\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{GE}\cdot \overrightarrow{MF}|}{|GE||MF|}=\frac{1/3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}\ne \frac{\sqrt{2}}{3}$.