Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là vuông cạnh $a\sqrt{2}$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Vẽ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $C(a\sqrt{2};a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.

a) Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Mà $AH\subset (SAB)$ nên $BC\perp AH$. Đúng.

c) $AK\perp SD$ (đường cao tam giác $SAD$). Vì $CD\perp AD$, $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp AK$. Vậy $AK\perp (SDC)$. Đúng.

b) $SB=SD=a\sqrt{5}$. Chân đường cao: $H=S+\frac{S{A}^2}{S{B}^2}(B-S)=\left(\frac{3a\sqrt{2}}{5};0;\frac{2a\sqrt{3}}{5}\right)$, tương tự $K=\left(0;\frac{3a\sqrt{2}}{5};\frac{2a\sqrt{3}}{5}\right)$. Mặt phẳng $(AHK)$ qua $A$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AH}\times \overrightarrow{AK}\propto (-\sqrt{6};-\sqrt{6};3)$, phương trình $\sqrt{6}(x+y)=3z$. Khoảng cách từ $C(a\sqrt{2};a\sqrt{2};0)$: $d=\frac{\sqrt{6}\cdot 2a\sqrt{2}}{\sqrt{21}}=\frac{4a\sqrt{3}}{\sqrt{21}}=\frac{4a\sqrt{7}}{7}\ne \frac{2a\sqrt{7}}{7}$. Sai.

d) $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot SA=\frac{1}{6}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp AH\subset (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách thực tế là $\frac{4a\sqrt{7}}{7}$, không phải $\frac{2a\sqrt{7}}{7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AK\perp SD$ và $AK\perp CD$ (vì $CD\perp (SAD)$), nên $AK\perp (SCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$, không phải $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$.