Một hộp chứa 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 quả từ 45 quả là $C_{45}^3=14190$. Phân loại 45 số theo số dư mod 4: dư 0 có 11 số, dư 1 có 12 số, dư 2 có 11 số, dư 3 có 11 số.
a) Số chẵn từ 2 đến 44 có 22 số, số cách lấy cả 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$ → đúng.
b) Các bộ (dư) có tổng chia hết cho 4: (0,0,0): $C_{11}^3=165$; (1,1,2): $C_{12}^2\cdot 11=726$; (0,1,3): $11\cdot 12\cdot 11=1452$; (0,2,2): $11\cdot C_{11}^2=605$; (2,3,3): $11\cdot C_{11}^2=605$. Tổng $=3553$, xác suất $=\frac{3553}{14190}=\frac{323}{1290}$ → đúng.
c) Tổng lẻ cần số lượng số lẻ là lẻ: các trường hợp (dư mod 2): 1 lẻ + 2 chẵn: $23\cdot C_{22}^2=5313$; 3 lẻ: $C_{23}^3=1771$; tổng $7084$, xác suất $\frac{7084}{14190}=\frac{3542}{7095}\approx 0,4992\ne \frac{1}{2}$ → sai.
d) Phân loại theo $v_2$: lẻ (23 số), $v_2=1$ (11 số), $v_2=2$ (6 số), $v_2\ge 3$ (5 số). Đếm bộ có tích KHÔNG chia hết cho 8 (tổng $v_2\le 2$): toàn lẻ $C_{23}^3=1771$; một $v_1$: $11\cdot C_{23}^2=2783$; hai $v_1$ + lẻ: $C_{11}^2\cdot 23=1265$; một $v_2$: $6\cdot 253=1518$; một $v_{\ge 3}$: $5\cdot 253=1265$; $v_1+v_2$+lẻ: $11\cdot 6\cdot 23=1518$; $v_1+v_{\ge 3}$+lẻ: $11\cdot 5\cdot 23=1265$. Tổng $11385$. Vậy số bộ chia hết cho 8 là $14190-11385=2805$, xác suất $\frac{2805}{14190}=\frac{187}{946}\approx 0,198\ne \frac{523}{1290}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 22 số chẵn (2 đến 44), số cách lấy 3 quả chẵn là $C_{22}^3=1540$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm theo số dư mod 4 (11,12,11,11 số): tổng các bộ có tổng chia hết cho 4 là 3553, xác suất $3553/14190=323/1290$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng lẻ: $23\cdot C_{22}^2+C_{23}^3=7084$, xác suất $7084/14190=3542/7095\ne 1/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số bộ có tích chia hết cho 8 là 2805, xác suất $2805/14190=187/946\ne 523/1290$.