Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$ và $M$ là một điểm bất kì thuộc cạnh $AD$. Giả sử $ME$ cắt $BD$ tại $N$ và $MF$ cắt $CD$ tại $P$ (H.4.11). Chứng minh rằng $NP//EF$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta chứng minh $NP\parallel BC$ rồi dùng $EF\parallel BC$.

Xét tam giác $ABD$ với cát tuyến $EMN$ ($E\in AB$, $M\in AD$, $N\in BD$). Theo định lí Menelaus:
$$\frac{BN}{ND}\cdot \frac{DM}{MA}\cdot \frac{AE}{EB}=1.$$
Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $\frac{AE}{EB}=1$, suy ra $\frac{BN}{ND}=\frac{MA}{DM}$.

Xét tam giác $ACD$ với cát tuyến $FMP$ ($F\in AC$, $M\in AD$, $P\in CD$). Theo định lí Menelaus:
$$\frac{CP}{PD}\cdot \frac{DM}{MA}\cdot \frac{AF}{FC}=1.$$
Vì $F$ là trung điểm $AC$ nên $\frac{AF}{FC}=1$, suy ra $\frac{CP}{PD}=\frac{MA}{DM}$.

Do đó $\frac{BN}{ND}=\frac{CP}{PD}$, tức là $\frac{ND}{NB}=\frac{PD}{PC}$. Trong tam giác $BCD$, điểm $N$ trên $BD$ và $P$ trên $CD$ chia hai cạnh theo cùng một tỉ số nên theo định lí Ta-lét (đảo) ta có $NP\parallel BC$.

Mặt khác, trong tam giác $ABC$, $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF\parallel BC$.

Vì $NP\parallel BC$ và $EF\parallel BC$ nên $NP\parallel EF$ (điều phải chứng minh).