Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $G,H$ lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng $GH,CE,DF$ đôi một song song.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: $G$ là trung điểm của $AC$ và cũng là trung điểm của $BD$. Tương tự, vì $ABEF$ là hình bình hành nên $H$ là trung điểm của $BF$ và cũng là trung điểm của $AE$.

Xét tam giác $DBF$: $G$ là trung điểm $BD$, $H$ là trung điểm $BF$, theo định lí đường trung bình ta có $$GH\parallel DF,GH=\frac{1}{2}DF.$$

Xét tam giác $ACE$: $G$ là trung điểm $AC$, $H$ là trung điểm $AE$, theo định lí đường trung bình ta có $$GH\parallel CE,GH=\frac{1}{2}CE.$$

Từ đó $CE\parallel GH$ và $DF\parallel GH$, mà qua điểm $G$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $GH$, suy ra $CE\parallel DF$. Vậy ba đường thẳng $GH$, $CE$, $DF$ đôi một song song. (Điều kiện tồn tại: các tam giác $DBF$ và $ACE$ đều không suy biến vì hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng.)