Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$; $AB=2$; $AC=\sqrt{3}$. Tam giác $ABD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(0;\sqrt{3};0)$, $H(1;0;0)$. Tam giác $ABD$ đều cạnh 2 nên $DH\perp AB$ và $DH=\sqrt{3}$, do $(ABD)\perp (ABC)$ giao tuyến $AB$ nên $D(1;0;\sqrt{3})$.
a) Vì $DH\subset (ABD)$, $DH\perp AB$ (giao tuyến) và $(ABD)\perp (ABC)$ nên $DH\perp (ABC)$. Đúng.
b) Hình chiếu của $D$ lên $(ABC)$ là $H$, $HC=\sqrt{1+3}=2$, $DH=\sqrt{3}$ nên $\tan (DC,(ABC))=\frac{DH}{HC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \sqrt{3}$. Sai.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1$. Đúng.
d) ${\vec{u}}_{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{CD}=(1;-\sqrt{3};\sqrt{3})$, $\vec{n}={\vec{u}}_{AB}\times \overrightarrow{CD}=(0;-\sqrt{3};-\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AC}=(0;\sqrt{3};0)$. Khoảng cách $d(AB,CD)=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{\sqrt{15}}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$DH\perp AB$, $DH\subset (ABD)$, $(ABD)\perp (ABC)$ giao tuyến $AB$ nên $DH\perp (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan (DC,(ABC))=\frac{DH}{HC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \sqrt{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tích có hướng được $d(AB,CD)=\frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{\sqrt{15}}{3}$.