Cho tứ diện $ABCD$ có $CB=CD=a,BD=a\sqrt{3}$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $IJ\parallel BC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $CD$ bằng góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $CD$.
Xét tam giác $BCD$ có $CB=CD=a$, $BD=a\sqrt{3}$. Theo định lí cosin:
$$\cos \widehat{BCD}=\frac{C{B}^2+C{D}^2-B{D}^2}{2\cdot CB\cdot CD}=\frac{a^2+a^2-3a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}.$$
Suy ra $\widehat{BCD}=120^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn, nên góc giữa $BC$ và $CD$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Vậy $\cos$ góc giữa $IJ$ và $CD$ bằng $\cos 60^{\circ }=0,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,5$.