Cho tích phân ${\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{2x-1}{{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=a\pi +b\ln 2+c$ ($a,b,c\in \mathbb{Q}$). Khi đó biểu thức $2a+b-c$ bằng

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ thì ${\int }_0^{1}2f(x)dx$ bằng

Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=0$, $x=4$. Đường thẳng $x=k$ ($0<k<4$) chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ. Để $S_1=4S_2$ thì giá trị $k$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn điều kiện ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx=8$ và ${\int }_0^1[f(x)+2g(x)]dx=11$. Giá trị của biểu thức ${\int }_{2021}^{2022}f(2022-x)dx+5{\int }_0^{\frac{1}{3}}g(3x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^5+a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+36$. Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=f^{\prime }(x)$ và $Ox$ giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $2,3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $Ox$ bằng $\frac{m}{n}$ là một phân số tối giản với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tổng $m+n$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+2x+1$ và đường thẳng $y=(m+1)x+5$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^2-4x$, trục $Ox$, $x=0,x=4$ được tính bằng: