Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm vị trí điểm $M$ để $M{B}^2+M{C}^2-2M{A}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, bán kính $R$; $N$ là trung điểm của $BC$; đặt $\vec{m}=\overrightarrow{OM}$ với $|\vec{m}|=R$, và $\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ (đều có độ dài $R$).

Ta có:
$$M{B}^2+M{C}^2-2M{A}^2=|\vec{m}-\vec{b}{|}^2+|\vec{m}-\vec{c}{|}^2-2|\vec{m}-\vec{a}{|}^2.$$

Khai triển:
$$|\vec{m}-\vec{b}{|}^2=2R^2-2\vec{m}\cdot \vec{b},|\vec{m}-\vec{c}{|}^2=2R^2-2\vec{m}\cdot \vec{c},|\vec{m}-\vec{a}{|}^2=2R^2-2\vec{m}\cdot \vec{a}.$$

Cộng lại, phần $R^2$ triệt tiêu hoàn toàn $(2R^2+2R^2-4R^2=0)$, còn lại
$$f(M)=-2\vec{m}\cdot \vec{b}-2\vec{m}\cdot \vec{c}+4\vec{m}\cdot \vec{a}=2\overrightarrow{OM}\cdot (2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}).$$

Vì $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{ON}$ với $N$ là trung điểm $BC$, nên
$$2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ON})=2\overrightarrow{NA}=-2\overrightarrow{AN}.$$

Vậy
$$f(M)=-4\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AN}.$$

Do $M$ chạy trên đường tròn nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AN}\le |\overrightarrow{OM}||\overrightarrow{AN}|=R\cdot AN$, dấu bằng khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AN}$.

Kết luận: $f(M)$ đạt giá trị nhỏ nhất
$$f_{\min }=-4R\cdot AN=-2R\sqrt{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2},$$
(vì $AN=\frac{1}{2}\sqrt{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}$ là độ dài trung tuyến), đạt được khi $M$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp với tia gốc $O$ cùng hướng với trung tuyến $\overrightarrow{AN}$, tức $\overrightarrow{OM}\parallel \overrightarrow{AN}$ cùng chiều ($N$ là trung điểm $BC$).

Kiểm tra: với tam giác đều cạnh $s$, $R=\frac{s}{\sqrt{3}}$, $AN=\frac{s\sqrt{3}}{2}$, khi đó $f_{\min }=-4\cdot \frac{s}{\sqrt{3}}\cdot \frac{s\sqrt{3}}{2}=-2s^2=-6R^2$, đúng bằng giá trị tính trực tiếp tại $M$ đối xứng với $A$ qua $O$: khi đó $MB=MC=R$ nên $M{B}^2+M{C}^2=2R^2$, $M{A}^2=4R^2$, $f=2R^2-8R^2=-6R^2$. ✓