Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường 2025-2026 - Toán 10

a) Biết rằng $(P):y=a{x}^2+bx+1$ $(b>0)$ đi qua điểm $M(-1;-5)$ và có tung độ đỉnh bằng 3. Tìm $a,b$.

b) Giải phương trình: $\sqrt{x^4-2x^2+1}+x=1$.

Một công ty cần thuê xe để chở 120 người và 15 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe $A$ và $B$, trong đó loại xe $A$ có 12 chiếc và loại xe $B$ có 10 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá 5 triệu đồng, một chiếc xe loại $B$ cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại $A$ có thể chở tối đa 20 người và 1 tấn hàng; mỗi xe loại $B$ có thể chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Chi phí bỏ ra là ít nhất mà vẫn chở được hết hàng và người là bao nhiêu (triệu đồng).

Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gia cầm. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì có chi phí nguyên vật liệu là 80 ngìn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngìn đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm $P$, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc $40^{\circ }$ để đến đích là điểm $D$, góc $PAD$ bằng $100^{\circ }$. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại $A$ và $B$ (như hình vẽ minh họa).



Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (làm tròn đến 1 chữ số sau dấu thập phân)?

a) Cho hình bình hành ABCD, M trên đoạn AB và N trên đoạn CD sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$, $DN=\frac{1}{2}DC$. Gọi I, J là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}$. Tìm $x,y$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$.

b) Cho tam giác đều $ABC$. Lấy các điểm $M,N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Gọi I là giao điểm của $AM$ và $CN$. Chứng minh $BI\perp IC$.

Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm vị trí điểm $M$ để $M{B}^2+M{C}^2-2M{A}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.