Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $AB=3$, $AC=8$. Độ dài cạnh $BC$ là

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ nhọn và nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm $O$, bán kính $R$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại trung điểm $M$ của $BC$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$ lần lượt tại $Y$ và $X$.

a) Gọi $I$, $r^{\prime }$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính $XY$. Chứng minh rằng $O{I}^2=R^2+r^{\prime 2}$.

b) Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $OM$ tại $P$. Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AO$ cắt đường thẳng qua $P$ song song với $BC$ tại $Z$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $H,M,Z$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$, có $b=2,c=1$. Diện tích $S$ tam giác bằng

Cô Lan dự định trồng khóm hoa hồng bên trong đường tròn nội tiếp trong một mảnh đất hình tam giác ABC trước sân nhà. Biết chiều dài cạnh BC là 8 m và chiều dài tổng hai cạnh AB+AC là 12m. Góc giữa hai cạnh BA và BC là $60^0$. Hỏi a) Chu vi mảnh đất hình tam giác ABC là bao nhiêu mét ? b) Bán kính đường tròn dùng để trồng hoa hồng nội tiếp bên trong tam giác ABC là bao nhiêu mét ? ( Kết quả câu b làm tròn đến hàng phần mười )

Cho tam giác $ABC$ có $AB=3$, $AC=4$, $\widehat{BAC}=30°$ . Thì diện tích tam giác $ABC$ bằng

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, $G$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Các đường thẳng $GB$, $GC$ cắt $EF$ tương ứng tại $P$, $Q$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $F$, $D$, $M$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn nội tiếp $(J)$ của tam giác $GPQ$ tiếp xúc với $PQ$ tại $H$. Gọi $N$ là trung điểm $GH$. Chứng minh rằng $JN$ song song với $IG$.

Tam giác $ABC$ có $\hat{C}=150^0$, $BC=\sqrt{3}$, $AC=2$. Tính cạnh $AB$?