Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ nhọn và nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm $O$, bán kính $R$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại trung điểm $M$ của $BC$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$ lần lượt tại $Y$ và $X$.

a) Gọi $I$, $r^{\prime }$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính $XY$. Chứng minh rằng $O{I}^2=R^2+r^{\prime 2}$.

b) Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $OM$ tại $P$. Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AO$ cắt đường thẳng qua $P$ song song với $BC$ tại $Z$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $H,M,Z$ thẳng hàng.

a)
Ta có: $\widehat{XYA}=90^{\circ }-\widehat{ABC}=\widehat{OAX}$.
Do đó: $△OAX\sim △OYA$ (g-g).
Dẫn tới: $O{A}^2=OX\cdot OY={\mathcal{P}}_{O/(I)}=O{I}^2-(r^{\prime }{)}^2$.
Vì vậy ta thu được $O{I}^2=R^2+(r^{\prime }{)}^2$.

b)
Kẻ đường kính $AT$ của $(O)$. Gọi $G$ là giao của $HT$ với $(O)$.

Gọi $AH$ giao $(O)$ tại $R$
Cho đường thẳng qua $P$ song song với $BC$ cắt $HT$ tại $Z^{\prime }$.
Ta sẽ chứng minh $Z^{\prime }\equiv Z$:
Gọi $G^{\prime }$ là giao của $IA$ với $(O)$.
Ta có $A(RIXY)=-1$ chiếu lên $(O)$ ta được $(R{G}^{\prime }BC)=-1$ (1).
Mặt khác: $A(GHBC)=-1$ chiếu lên $(O)$ ta được $(RGBC)=-1$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $G^{\prime }\equiv G$ hay $I,G,A$ thẳng hàng.
Cũng từ (2) ta có $RBGC$ là tứ giác điều hoà nên $P,R,G$ thẳng hàng.
Để ý là $R,T$ đối xứng nhau qua trung trực của $BC$ kết hợp với $P{Z}^{\prime }\parallel BC$ nên
$P(Z^{\prime }MTR)=-1$ chiếu lên $HM$ ta được $(Z^{\prime }MTG)=-1$.
Xét $I(Z^{\prime }MTG)=I(Z^{\prime }OTA)=-1$ do đó $I{Z}^{\prime }\parallel AO$.
Tóm lại $I{Z}^{\prime }\parallel AO$ và $P{Z}^{\prime }\parallel BC$ nên $Z^{\prime }\equiv Z$ có nghĩa là $Z$ nằm trên $HM$ (đpcm)