Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c,p$ sao cho $p$ và $p+2$ đều là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn: $$2^a{p}^b=(p+2{)}^c-1.$$

Trường hợp 1: $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$

Khi đó: $3\mid p+2$, vì $p+2$ là số nguyên tố nên $p+2=3$.
Do đó: $p=1$ (Vô lí).

Trường hợp 2: $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$

Ta có: $2^a.p^b=(p+2{)}^c-1\equiv (2+2{)}^c-1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$
Cho nên $3\mid 2^a.p^b$ (Vô lí)

Trường hợp 3: $p\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, tức là $p=3$

Thay $p=3$ vào phương trình thu được
$$2^a.3^b=5^c-1$$

Vì $3\mid 5^c-1$ nên ta có $c$ là số chẵn.
Đặt $c=2k$ với $k$ là số nguyên dương.
Áp dụng định lí LTE:
$$v_2(5^c-1)=v_2(5^2-1)+v_2(c)-1=v_2(c)+2=v_2(k)+3$$

Do đó: $a=v_2(k)+3$.
Lại có:
$$v_3(5^c-1)=v_3(25^k-1)=v_3(25-1)+v_3(k)=v_3(k)+1$$

Nên $b=v_3(k)+1$
Vì vậy ta thu được $a\le {\log }_2(k)+3$ và $b\le {\log }_3(k)+1$.
Khi đó: $25^k-1=2^a.3^b\le 2^{{\log }_2(k)+3}.3^{{\log }_3(k)+1}=24k^2$.
Dễ dàng quy nạp được $25^t-1\ge 24t^2$, với mọi số nguyên dương $t\ge 1$.
Do đó ta thu được $k=1$, kéo theo $c=2$, $a=3$, $b=1$.
Thử lại ta thấy $(a;b;c;p)=(3;1;2;3)$ thỏa.
Vậy $(a;b;c;p)=(3;1;2;3)$