Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,AC=3\sqrt{2},\hat{A}=45^{\circ }$.

Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB=70\text{m}$, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^0$, phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{0}30^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ có góc $\hat{B}=30^{\circ }$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Khi tìm thấy một chiếc đĩa cổ có dạng hình tròn bị vỡ (xem hình bên), để tìm diện tích của nó các nhà khảo cổ đã lấy ba điểm $A$, $B$, $C$ trên vành đĩa. Tiến hành đo đạc được kết quả $AB=4,3cm$; $AC=3,7cm$; $BC=7,5cm$. Lấy $\pi =3,1416$ thì diện tích chiếc đĩa đó trước khi bị vỡ bằng bao nhiêu $c{m}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một người đứng tại điểm $A$ cách gốc cây một khoảng bằng 5m và đo được góc nâng đến đỉnh đỉnh cây là $\alpha$. Khi người đó lùi xa thêm 10m nữa đến điểm $A^{\prime }$, góc nâng lúc này chỉ còn bằng một nửa góc nâng ban đầu $\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (tham khảo hình vẽ). Biết giác kế được đặt trên giá đỡ cao 1,2m so với mặt đất. Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác $ABCD$ với $AB=8,2m;BC=14,5m;CD=9,7m$; $AD=16,4m$. Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy hai điểm $M,N$ nằm trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho $AM=1m;AN=1m$, sau đó bác Nam dùng thước dây đo được $MN=1,6m$. Tính diện tích mảnh đất $ABCD$ (đơn vị $m^2$ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Để vận chuyển hàng hóa từ điểm $B$ đến điểm $E$ trong một khu vực đồi núi, do địa hình hiểm trở đường đi hiện tại phải vòng qua núi, qua các điểm $C$ và $D$ với các số liệu như mô hình trong hình vẽ dưới. Một dự án đang xem xét việc xây dựng một tuyến đường hầm nối thẳng trực tiếp $B$ đến $E$ để rút ngắn quãng đường vận chuyển. Hỏi chiều dài đường hầm từ $B$ đến $E$ dài bao nhiêu km (làm tròn đến hàng phần mười)?