Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm ước chung lớn nhất của hai số $5^{n+2}+7^n$ và $5^n+7^{n+2}$.

Đặt $A=5^{n+2}+7^n$ và $B=5^n+7^{n+2}$. Khi đó để ý $\gcd (A,5)=1$ nên ta có được
$$\gcd (A,B)=\gcd (49A-B,A)=\gcd (1224\cdot 5^n,A)=\gcd (1224,A)=\gcd (2^3\cdot 3^2\cdot 17,A)$$
(1) Xét số dư của $A$ khi chia cho 8: Ta có $5^{n+2}+7^n\equiv 25\cdot 5^n+(-1{)}^n\equiv 5^n+(-1{)}^n(\mathrm{mod}8)$.
- Xét $n$ chẵn thì $5^{n+2}+7^n\equiv 2(\mathrm{mod}8)$ nên $A$ chia hết cho 2 không chia hết cho 4.
- Xét $n$ lẻ thì $5^{n+2}+7^n\equiv 4(\mathrm{mod}8)$ nên $A$ chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.

Vậy $v_2(A)=1$ nếu $n$ chẵn và $v_2(A)=2$ nếu $n$ lẻ.
(2) Xét số dư của $A$ khi chia cho 9: Ta có $5^{n+2}+7^n\equiv 25\cdot 5^n+7^n(\mathrm{mod}9)$.
- Nếu $n\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ thì $A\equiv -1(\mathrm{mod}9)$.
- Nếu $n\equiv 1(\mathrm{mod}6)$ thì $A\equiv 6(\mathrm{mod}9)$.
- Nếu $n\equiv 2(\mathrm{mod}6)$ thì $A\equiv -1(\mathrm{mod}9)$.
- Nếu $n\equiv 3(\mathrm{mod}6)$ thì $A\equiv 3(\mathrm{mod}9)$.
- Nếu $n\equiv 4(\mathrm{mod}6)$ thì $A\equiv -1(\mathrm{mod}9)$.
- Nếu $n\equiv 5(\mathrm{mod}6)$ thì $A\equiv 0(\mathrm{mod}9)$.

Vậy $v_3(A)=0$ nếu $n$ chẵn, $v_3(A)=1$ nếu $n$ lẻ và $n\not\equiv 5(\mathrm{mod}6)$, và $v_3(A)=2$ nếu $n$ lẻ và $n\equiv 5(\mathrm{mod}6)$.
(3) Tìm điều kiện của $n$ để $A$ chia hết cho 17.

Ta có $5^{n+2}+7^n$ chia hết cho 17 tương đương $7^{n+2}\cdot 5^{n+2}+7^{2n+2}$ chia hết cho 17 hay $7^{2n+2}+1$ chia hết cho 17, tương đương $49^n\cdot 49+1$ chia hết cho 17 hay $(-2{)}^n\cdot (-2)+1$ chia hết cho 17.

Điều này tương đương với $(-2{)}^n\equiv 9(\mathrm{mod}17)$.

Để ý ${\text{ord}}_{17}(-2)=8$ và $(-2{)}^3=-8\equiv 9(\mathrm{mod}17)$ nên $n\equiv 3(\mathrm{mod}8)$. (Lưu ý: bản in nguồn trang 4 ghi "$(-2{)}^3\equiv 1(\mathrm{mod}17)$", đây là lỗi đánh máy của nguồn; đúng là $(-2{)}^3=-8\equiv 9(\mathrm{mod}17)$.)

Vậy $17\mid A⟺n\equiv 3(\mathrm{mod}8)$.

Do đó ta suy ra được:

- $n\equiv 0(\mathrm{mod}2)$ thì $\gcd (A,B)=2$.
- $n\equiv 1,7,9,13,15,21(\mathrm{mod}24)$ thì $\gcd (A,B)=12$.
- $n\equiv 3,19(\mathrm{mod}24)$ thì $\gcd (A,B)=204$.
- $n\equiv 5,17,23(\mathrm{mod}24)$ thì $\gcd (A,B)=36$.
- $n\equiv 11(\mathrm{mod}24)$ thì $\gcd (A,B)=612$.