Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2-2y-z=y^2-2z-x=z^2-2x-y$. Chứng minh rằng $x=y=z$.

Cho $n$ là một số nguyên dương. Tìm ước chung lớn nhất của hai số $5^{n+2}+7^n$ và $5^n+7^{n+2}$.

Có 4 bạn nam và 4 bạn nữ tham gia các dự án ngoại khóa. Biết rằng:
+ Mỗi người tham gia tối đa 2 dự án.
+ Bất kỳ cặp 1 nam và 1 nữ nào cũng làm chung với nhau ít nhất 1 dự án.
Chứng minh rằng có ít nhất 1 dự án có từ 2 bạn nam và 2 bạn nữ trở lên cùng tham gia.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $P$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, $Q$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $QAC$ giao nhau tại $K$, tiếp tuyến tại $B$ và $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $QBD$ giao nhau tại $L$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ vuông góc với đường thẳng $OP$.

Cho $p,q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $p<q$. Xét thuật toán phân tích phân số $\frac{p}{q}$ thành tổng các phân số có tử số bằng 1 như sau: Khởi tạo $p_1=p,q_1=q$. Tại mỗi bước $i\ge 1$, ta xác định số nguyên $d_i=\left[\frac{q_i}{p_i}\right]$ (trong đó $[x]$ ký hiệu số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$), đồng thời đặt $\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$ là dạng tối giản của hiệu:
$$\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}=\frac{p_i}{q_i}-\frac{1}{d_i}$$
Thuật toán dừng lại tại bước $k$ nếu $p_k=1$. Khi đó, dãy $(d_i)$ sinh ra được gọi là dãy mẫu số tương ứng của $\frac{p}{q}$. Hãy tìm tất cả các phân số $\frac{p}{q}$ sao cho thuật toán dừng lại sau đúng 4 bước, đồng thời dãy mẫu số thu được thỏa mãn: $d_4=d_1{d}_2{d}_3+1$.