Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA=y$ ($y>0$) và vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ và đặt $AM=x$ ($0<x<a$). Tính thể tích lớn nhất $V_{\max }$ của khối chóp $S.ABCM$, biết $x^2+y^2=a^2$.

Bạn An có một tấm bìa hình vuông cạnh $20\text{ cm}$. Bạn muốn cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông nhỏ bằng nhau để gấp và dán lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ). Để hộp có thể tích lớn nhất thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bị cắt là

Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới. Chi phí sản xuất mỗi chiếc tai nghe là $500$ nghìn đồng với giá bán ra niêm yết là $1,2$ triệu đồng. Bộ phận bán hàng ước tính rằng, số lượng tai nghe bán được $n(x)$ phụ thuộc vào chi phí quảng cáo $x$ (đơn vị: triệu đồng) theo công thức $n(x)=A+40\ln (1+x)$. Biết rằng nếu chi $(e^2-1)$ triệu đồng cho quảng cáo thì bán được $190$ sản phẩm.

Một công ty môi trường nhận thấy mức độ ô nhiễm $P(t)$ của một dòng sông sau $t$ tháng xử lý được mô hình hóa bởi $P(t)=\frac{1}{3}{t}^3-5t^2+16t+100$ ($0\le t\le 12$). Tốc độ giảm ô nhiễm được định nghĩa là $v(t)=-P^{\prime }(t)$. Hãy tìm thời điểm $t$ (tháng) mà tại đó tốc độ giảm ô nhiễm đạt giá trị lớn nhất.

Trong kế hoạch vận hành thử nghiệm phân đoạn dài $290\text{ km}$ thuộc dự án đường sắt tốc độ cao, các kỹ sư cần xác định vận tốc khai thác $v$ (km/h) cho đoàn tàu ($200\le v\le 350$) để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất. Các thông số được xác định như sau: Công suất tiêu thụ điện của đoàn tàu là $P(v)=5v^3$ (W). Giá điện kinh doanh ưu đãi là $2$ nghìn đồng/kWh. Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân lực, bảo trì và các chi phí quản lý khác, được tính là $197780$ nghìn đồng cho mỗi giờ tàu chạy. Số lượng khách mua vé phụ thuộc vào vận tốc khai thác theo hàm số: $N(v)=v+610$ (hành khách). Giá vé bình quân cho phân đoạn này là $1$ triệu đồng/khách. Hãy xác định vận tốc khai thác $v$ để lợi nhuận ròng của mỗi chuyến tàu trên phân đoạn này là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bộ phận sản xuất của một công ty xác định chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi biểu thức $T(x)=x^2+20x+4000$ (nghìn đồng). Nếu $x$ sản phẩm đều được bán hết và giá bán mỗi sản phẩm là $150$ nghìn đồng thì lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu được là bao nhiêu nghìn đồng?

Một xưởng sản xuất $A$ kí hợp đồng cung cấp cho siêu thị $B$ mỗi tháng là $x$ thùng dầu ăn. Biết siêu thị $B$ tiêu thụ tối đa $130$ thùng/tháng. Đơn giá trong hợp đồng được xác định bởi giá trị biểu thức $P(x)=6-0,000075x^2$ (triệu đồng/thùng). Để cung ứng $x$ thùng dầu ăn cho bên $B$, người ta ước tính chi phí tương ứng xưởng $A$ cần bỏ ra mỗi tháng là $C(x)=10+3,55x-0,00025x^2$ (triệu đồng).