Một công ty môi trường nhận thấy mức độ ô nhiễm $P(t)$ của một dòng sông sau $t$ tháng xử lý được mô hình hóa bởi $P(t)=\frac{1}{3}{t}^3-5t^2+16t+100$ ($0\le t\le 12$). Tốc độ giảm ô nhiễm được định nghĩa là $v(t)=-P^{\prime }(t)$. Hãy tìm thời điểm $t$ (tháng) mà tại đó tốc độ giảm ô nhiễm đạt giá trị lớn nhất.

Bộ phận sản xuất của một công ty xác định chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi biểu thức $T(x)=x^2+20x+4000$ (nghìn đồng). Nếu $x$ sản phẩm đều được bán hết và giá bán mỗi sản phẩm là $150$ nghìn đồng thì lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu được là bao nhiêu nghìn đồng?

Một xưởng sản xuất $A$ kí hợp đồng cung cấp cho siêu thị $B$ mỗi tháng là $x$ thùng dầu ăn. Biết siêu thị $B$ tiêu thụ tối đa $130$ thùng/tháng. Đơn giá trong hợp đồng được xác định bởi giá trị biểu thức $P(x)=6-0,000075x^2$ (triệu đồng/thùng). Để cung ứng $x$ thùng dầu ăn cho bên $B$, người ta ước tính chi phí tương ứng xưởng $A$ cần bỏ ra mỗi tháng là $C(x)=10+3,55x-0,00025x^2$ (triệu đồng).

Bạn An dùng đoạn dây kim loại dài $2\text{ m}$ để tạo thành hình $PQRST$ (như hình vẽ dưới đây), trong đó $PQST$ là một hình chữ nhật và $QRS$ là một nửa đường tròn. Gọi diện tích phần hình phẳng được bao bởi hình $PQRST$ là $A{\text{ (m}}^2\text{)}$. Biết $TP=SQ=x\text{ (m)}$ và $PQ=y\text{ (m)}$. Để diện tích $A$ lớn nhất thì giá trị của $x$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bác Toàn muốn làm một bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $2{\text{ m}}^3$, sao cho tỉ lệ giữa chiều dài đáy bể và chiều cao bể bằng $1,6$. Bác cũng quyết định làm thêm một vách kính (cùng loại kính dùng cho mặt xung quanh) chắn ngang bể để khi thả cá có thể nuôi cách ly một số loại (xem hình minh hoạ).

Tham khảo thị trường, bác được biết giá loại kính để làm mặt xung quanh bể là $170000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, giá loại kính để làm đáy bể là $260000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, bỏ qua các mép dán và mối nối. Nếu chi phí mua kính làm bể là nhỏ nhất thì tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của đáy bể bằng $\frac{m}{n}$. Tỉ số $\frac{m}{n}$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là $x$ (USD) thì số sản phẩm T các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200$ USD. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a$ (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng $54$ và độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }=9$. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho.