Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO′ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi $\left(h>a<\sqrt{h^2+4R^2}\right)$.

a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO′ không đổi.

b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO′ không đổi.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A′ là hình chiếu của A trên đường tròn đáy dưới. Khi đó AA′ ∥ OO′ và AA′ = h. Tam giác ABA′ vuông tại A′ (AA′ ⊥ đáy) nên A′B = √(AB² − AA′²) = √(a² − h²), không phụ thuộc vị trí của A, B.

a) Vì OO′ ∥ AA′ nên góc giữa AB và OO′ bằng góc giữa AB và AA′, tức là góc BAA′ của tam giác vuông ABA′. Ta có sin∠BAA′ = A′B/AB = √(a² − h²)/a, hằng số (do a, h cố định). Vậy góc giữa AB và OO′ không đổi.

b) Vì OO′ ∥ AA′ ⊂ (AA′B) nên OO′ ∥ (AA′B). Do đó khoảng cách giữa AB và OO′ bằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (AA′B). Mặt phẳng (AA′B) cắt mặt đáy dưới theo giao tuyến A′B, và O nằm trong mặt đáy dưới, nên khoảng cách từ O đến (AA′B) bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng A′B trong mặt đáy. Trong đường tròn đáy bán kính R, A′B là một dây cung độ dài √(a² − h²), nên khoảng cách từ tâm O đến dây A′B là:
d = √(R² − (a² − h²)/4) = ½√(4R² + h² − a²).
Đại lượng này chỉ phụ thuộc R, h, a nên không đổi. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO′ không đổi và bằng ½√(4R² + h² − a²).