Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 4, $\widehat{BAD}=60^0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh 4, góc BAD = 60°. Chọn A(0;0), B(4;0), D(2;2√3), C(6;2√3). Khi đó AC = (6;2√3), |AC| = 4√3; BC = (2;2√3), |BC| = 4; AB = (4;0).
a) Tích vô hướng AC·CB với CB = (−2;−2√3): AC·CB = −12 + (2√3)(−2√3)·... tính: 6·(−2) + 2√3·(−2√3) = −12 − 12 = −24. Còn |AC||CB| = 4√3·4 = 16√3, cos góc = −24/(16√3) = −√3/2, suy ra góc giữa AC và CB bằng 150° (góc giữa tia CA và CB là 30° nhưng vecto AC ngược hướng CA). Vậy mệnh đề a) SAI.
b) AC·BC = 6·2 + 2√3·2√3 = 12 + 12 = 24. Vậy b) ĐÚNG. (Cách khác: AC·BC = |AC|² − AC·AB = 48 − 4√3·4·cos30° = 48 − 24 = 24.)
c) AB = (4;0) ≠ BC = (2;2√3) vì hai vecto không cùng phương, không cùng độ dài. Vậy c) SAI.
d) Theo quy tắc hình bình hành (hình thoi là hình bình hành): AB + AD = AC. Vậy d) ĐÚNG.
Kết quả: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ, khớp với bảng đáp án nguồn (SDSD, Mã đề 2101 trang 4). Lưu ý: các 'errors' trong payload cho rằng có mâu thuẫn với đáp án nguồn là nhầm lẫn — payload gốc (a S, b Đ, c S, d Đ) hoàn toàn khớp SDSD và khớp kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa vecto AC và CB bằng 150° (vì góc giữa CA và CB là 30° do đường chéo AC phân giác góc C, nhưng AC ngược hướng CA).
b) (AI giải đề cho tôi)
AC·BC = |AC|² − AC·AB = 48 − 4√3·4·cos30° = 48 − 24 = 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = (4;0) còn BC = (2;2√3), hai vecto khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC luôn đúng với hình thoi ABCD.