Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường thẳng qua $O$ và song song với $BC$ tương ứng cắt các đường thẳng $HB$, $HC$ tại các điểm $E$ và $F$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$, các đường thẳng $KE$, $KF$ tương ứng cắt đường thẳng $BC$ tại các điểm $M$ và $N$. Gọi $P$, $Q$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $KB$ và $KC$. Đường thẳng qua $B$, song song với $KF$ cắt đường thẳng qua $C$, song song với $KE$ tại điểm $G$.

a) Chứng minh đường thẳng $KB$ vuông góc với đường thẳng $KF$, đường thẳng $KC$ vuông góc với đường thẳng $KE$.

b) Giả sử hai đường thẳng $MQ$ và $NP$ cắt nhau tại điểm $T$, chứng minh ba điểm $T$, $G$, $K$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Câu 2 (dùng hệ trục tọa độ, giải đầy đủ cả hai ý).

Chọn hệ trục tọa độ: $B(0;0)$, $C(1;0)$, vì $ABC$ nhọn nên đặt $A(u;v)$ với $0<u<1$, $v>0$. Tam giác không cân nên $u\ne \frac{1}{2}$.

**Tính các điểm cơ bản.** Đường cao từ $A$: $x=u$. Đường cao từ $B$ vuông góc $AC$ có phương trình $(1-u)x-vy=0$, suy ra trực tâm $H\left(u;\frac{u(1-u)}{v}\right)$. Đặt $h=\frac{u(1-u)}{v}$ (note $hv=u(1-u)$, và $h>0$), vậy $H(u;h)$.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ nằm trên trung trực của $BC$ ($x=\frac{1}{2}$) và cách đều $B,H$; giải ra $O\left(\frac{1}{2};\frac{h-v}{2}\right)$ (đây chính là phản chiếu tâm đường tròn ngoại tiếp $ABC$ qua $BC$).

Trung điểm $K$ của $AH$: $K\left(u;\frac{v+h}{2}\right)$. Đặt $w=\frac{v+h}{2}$, tức $K(u;w)$.

**a) Chứng minh $KB\perp KF$, $KC\perp KE$.**

Đường thẳng qua $O$ song song $BC$ là $y=\frac{h-v}{2}$.
- Giao với $HB$ (đường $y=\frac{h}{u}x$): $E\left(\frac{u(h-v)}{2h};\frac{h-v}{2}\right)$.
- Giao với $HC$ (đường qua $C(1;0)$ và $H(u;h)$): $F\left(1+\frac{(u-1)(h-v)}{2h};\frac{h-v}{2}\right)$.

Suy ra:
$$\overrightarrow{KF}=\left(\frac{(1-u)(h+v)}{2h};-v\right),\overrightarrow{KE}=\left(-\frac{u(h+v)}{2h};-v\right),$$
$$\overrightarrow{KB}=\left(-u;-\frac{v+h}{2}\right),\overrightarrow{KC}=\left(1-u;-\frac{v+h}{2}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{KB}\cdot \overrightarrow{KF}=-\frac{u(1-u)(h+v)}{2h}+\frac{v(v+h)}{2}=\frac{h+v}{2}\left(v-\frac{u(1-u)}{h}\right)=\frac{h+v}{2}(v-v)=0,$$
vì $\frac{u(1-u)}{h}=v$. Tương tự
$$\overrightarrow{KC}\cdot \overrightarrow{KE}=-\frac{u(1-u)(h+v)}{2h}+\frac{v(v+h)}{2}=0.$$
Vậy $KB\perp KF$ và $KC\perp KE$. $■$

**b) Chứng minh $T$, $G$, $K$ thẳng hàng.**

*Giao điểm $M,N$:* Với $D=\frac{(h+v{)}^2}{4hv}$ (chú ý $D=\frac{(h+v{)}^2}{4u(1-u)}$ và $D\ne \frac{1}{2}$ vì $(h+v{)}^2=2hv\Rightarrow v^2+h^2=0$ vô lý), đường $KE$ cắt $BC$ ($y=0$) tại
$$M(u(1-D);0),\text{đường }KF\text{ ca˘ˊt }BC\text{ tại }N(u+(1-u)D;0).$$

*Trung điểm:* $P\left(\frac{u}{2};\frac{w}{2}\right)$, $Q\left(\frac{u+1}{2};\frac{w}{2}\right)$.

*Tọa độ $T=MQ\cap NP$:* Tham số hóa
$$MQ:(u(1-D);0)+\alpha \left(\frac{1-u}{2}+uD;\frac{w}{2}\right),NP:(u+(1-u)D;0)+\beta \left(-\frac{u}{2}-(1-u)D;\frac{w}{2}\right).$$
Từ tung độ bằng nhau suy ra $\alpha =\beta$; thay vào hoành độ:
$$-D+\alpha \left(\frac{1}{2}+D\right)=0\Rightarrow \alpha =\frac{2D}{2D+1}.$$
Do đó
$$T=\left(u(1-D)+\frac{2D}{2D+1}\left(\frac{1-u}{2}+uD\right);\frac{Dw}{2D+1}\right).$$
Rút gọn:
$$\overrightarrow{KT}=\left(\frac{D(1-2u)}{2D+1};-\frac{w(D+1)}{2D+1}\right).$$

*Tọa độ $G$:* Đường qua $B$ song song $KF$: $(x;y)=s\left(\frac{(1-u)(h+v)}{2h};-v\right)$; đường qua $C$ song song $KE$: $(x;y)=(1;0)+t\left(-\frac{u(h+v)}{2h};-v\right)$. Từ tung độ $s=t$, thay vào hoành độ: $s\frac{h+v}{2h}=1\Rightarrow s=\frac{2h}{h+v}$. Vậy
$$G\left(1-u;-\frac{2hv}{h+v}\right),\overrightarrow{KG}=\left(1-2u;-\frac{2hv}{h+v}-w\right)=\left(1-2u;-\frac{v^2+6hv+h^2}{2(h+v)}\right),$$
trong đó đã dùng $-2hv-w(h+v)=\frac{-4hv-(v+h{)}^2}{2(h+v)}=-\frac{v^2+6hv+h^2}{2(h+v)}$.

*So sánh:* Ta có $\frac{D}{2D+1}\overrightarrow{KG}=\left(\frac{D(1-2u)}{2D+1};-\frac{D(v^2+6hv+h^2)}{2(h+v)(2D+1)}\right)$. Kiểm tra thành phần thứ hai:
$$w(D+1)=\frac{v+h}{2}\cdot \frac{(v+h{)}^2+4hv}{4hv}=\frac{(v+h)(v^2+6hv+h^2)}{8hv}=\frac{D(v^2+6hv+h^2)}{2(h+v)},$$
vì $(v+h{)}^2+4hv=v^2+6hv+h^2$. Vậy
$$\overrightarrow{KT}=\frac{D}{2D+1}\overrightarrow{KG}.$$
Suy ra $\overrightarrow{KT}$ và $\overrightarrow{KG}$ cùng phương, tức ba điểm $T$, $K$, $G$ thẳng hàng (hệ số $\frac{D}{2D+1}\ne 0$). $■$

Ghi chú tính hợp lệ: vì $0<u<1$, $v>0$ nên $h>0$; $u\ne \frac{1}{2}$ (tam giác không cân) và $D\ne \frac{1}{2}$ nên hai đường $MQ$, $NP$ không song song, điểm $T$ tồn tại duy nhất như đề giả thiết.