Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, gọi $I$ là trung điểm $B{B}^{\prime }$. Mặt phẳng $(DI{C}^{\prime })$ chia khối lập phương thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn.

Giả sử hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$, thể tích là $V=a^3$.
Trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, kéo dài $C^{\prime }I$ cắt $BC$ tại $J$.
Vì $I$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ nên $B$ là trung điểm của $JC\Rightarrow JB=BC=a$, do đó $JC=2a$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nối $JD$ cắt cạnh $AB$ tại $K$.
Theo định lí Ta-lét trong tam giác $JCD$ với $KB\parallel CD$:
$\frac{JK}{JD}=\frac{KB}{CD}=\frac{JB}{JC}=\frac{1}{2}\Rightarrow KB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}$, do đó $K$ là trung điểm của $AB$.
Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng $(DI{C}^{\prime })$ là tứ giác $C^{\prime }IKD$.
Mặt phẳng $(DI{C}^{\prime })$ chia khối lập phương thành hai khối, trong đó khối chứa đỉnh $B$ có thể xem là khối đa diện $B.KID$ được tạo bởi việc trừ khối chóp $J.KBI$ khỏi khối chóp $J.CD{C}^{\prime }$:
$V_{J.CD{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta JCD}\cdot C{C}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\right)\cdot a=\frac{a^3}{3}$.
Khối chóp $J.KBI$ có:
$\frac{V_{J.KBI}}{V_{J.CD{C}^{\prime }}}=\frac{JK}{JD}\cdot \frac{JB}{JC}\cdot \frac{JI}{J{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\Rightarrow V_{J.KBI}=\frac{1}{8}{V}_{J.CD{C}^{\prime }}=\frac{a^3}{24}$.
Thể tích phần bé (chứa đỉnh $B$) là:
$V_1=V_{J.CD{C}^{\prime }}-V_{J.KBI}=\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{24}=\frac{7a^3}{24}$.
Thể tích phần lớn là:
$V_2=V-V_1=a^3-\frac{7a^3}{24}=\frac{17a^3}{24}$.
Tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn là:
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{17}$.
Chọn A.