Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $4^{x^2+4y^2}-2^{x^2+4y^2+1}=2^{3-x^2-4y^2}-4^{2-x^2-4y^2}$. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{x-2y-1}{x+y+4}$. Tổng $M+m$ bằng

Đặt $t=2^{x^2+4y^2}$ với $t\ge 2^0=1$.
Phương trình đã cho trở thành:
$t^2-2t=\frac{8}{t}-\frac{16}{t^2}\iff t^2+\frac{16}{t^2}-2\left(t+\frac{4}{t}\right)=0$.
Đặt $u=t+\frac{4}{t}\Rightarrow u^2=t^2+\frac{16}{t^2}+8\Rightarrow t^2+\frac{16}{t^2}=u^2-8$.
Phương trình trở thành:
$u^2-2u-8=0\iff [\begin{array}{rl}u& =4\\ u& =-2\text{ (loại vıˋ }u>0\text{)}\end{array}$
Với $u=4\Rightarrow t+\frac{4}{t}=4\iff t^2-4t+4=0\iff t=2$.
Suy ra $2^{x^2+4y^2}=2^1\iff x^2+4y^2=1\iff x^2+(2y{)}^2=1$.
Đặt $x=\cos \alpha ,2y=\sin \alpha \Rightarrow y=\frac{1}{2}\sin \alpha$ với $\alpha \in [0;2\pi )$.
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=\frac{\cos \alpha -\sin \alpha -1}{\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha +4}=\frac{2\cos \alpha -2\sin \alpha -2}{2\cos \alpha +\sin \alpha +8}$.
$\iff P(2\cos \alpha +\sin \alpha +8)=2\cos \alpha -2\sin \alpha -2$
$\iff (P+2)\sin \alpha +(2P-2)\cos \alpha =-8P-2$.
Phương trình lượng giác có nghiệm $\alpha$ khi và chỉ khi:
$(P+2{)}^2+(2P-2{)}^2\ge (-8P-2{)}^2$
$\iff (P^2+4P+4)+(4P^2-8P+4)\ge 64P^2+32P+4$
$\iff 5P^2-4P+8\ge 64P^2+32P+4$
$\iff 59P^2+36P-4\le 0$.
Phương trình $59P^2+36P-4=0$ có hai nghiệm phân biệt $m,M$ thỏa mãn định lí Vi-ét:
$M+m=-\frac{36}{59}$.
Chọn A.