Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đúng: Gọi $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ ta có $FM$ là đường trung bình của $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $FM$ song song và độ dài bằng nửa đoạn $A^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Đúng: Lại có $E$ là trung điểm $AC$, $AC$ song song và bằng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $EC$ song song và độ dài bằng nửa $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Suy ra $FM$ song song và bằng $EC$, nên $CEFM$ là hình bình hành. Do đó $EF$ song song với $MC$ mà $MC$ nằm trong $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$ nên $EF$ song song với $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$

c) Sai: Gọi $K$ là trung điểm $AB$, vì $F$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành nên $FK$ song song và bằng $A{A}^{\prime }$. Do đó $FK$ song song và bằng $C{C}^{\prime }$, suy ra $C{C}^{\prime }FK$ là hình bình hành.

d) Sai: Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AC,AB$ tại $H,K$. Suy ra $KH\parallel MN$ do đó $M,N,K,H,I$ đồng phẳng. Gọi $P=A^{\prime }B\cap MH,Q=IP\cap MN$. Kẻ $MD\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }(D\in A^{\prime }B)$ ta được $\frac{HP}{PM}=\frac{HB}{DM}=\frac{\frac{1}{3}\cdot AB}{\frac{1}{2}\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Do đó $\frac{IP}{PQ}=\frac{HP}{PM}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{IP}{PQ}=\frac{2}{3}$. Vậy d sai.
a) Đúng: Gọi $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ ta có $FM$ là đường trung bình của $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $FM$ song song và độ dài bằng nửa đoạn $A^{\prime }{C}^{\prime }$.
b) Đúng: Lại có $E$ là trung điểm $AC$, $AC$ song song và bằng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $EC$ song song và độ dài bằng nửa $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Suy ra $FM$ song song và bằng $EC$, nên $CEFM$ là hình bình hành. Do đó $EF$ song song với $MC$ mà $MC$ nằm trong $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$ nên $EF$ song song với $\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$.
c) Sai: Gọi $K$ là trung điểm $AB$, vì $F$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành nên $FK$ song song và bằng $A{A}^{\prime }$. Do đó $FK$ song song và bằng $C{C}^{\prime }$, suy ra $C{C}^{\prime }FK$ là hình bình hành.
d) Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AC,AB$ tại $H,K$. Suy ra $KH\parallel MN$ do đó $M,N,K,H,I$ đồng phẳng. Gọi $P=A^{\prime }B\cap MH,Q=IP\cap MN$. Kẻ $MD\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }(D\in A^{\prime }B)$ ta được $\frac{HP}{PM}=\frac{HB}{DM}=\frac{\frac{1}{3}\cdot AB}{\frac{1}{2}\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Do đó $\frac{IP}{PQ}=\frac{HP}{PM}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{IP}{PQ}=\frac{2}{3}$. Vậy d sai.