Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Cho biết $AB=2a$, $BC=\sqrt{13}a$, $C{C}^{\prime }=4a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $CE$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$; có tọa độ ba đỉnh $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(6;1;0)$. Biết hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$, tìm mệnh đề đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(3;0;5)$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x-2y+2z-10=0$ sao cho tam giác $MAB$ cân tại $M$ và có diện tích bằng $11\sqrt{2}$. Tính $S=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-1=0$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1},{\Delta }_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$. Biết rằng có hai đường thẳng $d_1,d_2$ nằm trong $(P)$, cắt ${\Delta }_2$ và cách ${\Delta }_1$ một khoảng bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Gọi ${\vec{u}}_1=(a;b;1),{\vec{u}}_2=(1;c;d)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_1,d_2$. Tính $S=a+b+c+d$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DN$ và $SC$ bằng bao nhiêu (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong căn phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng $5\text{ m}$, chiều cao của phòng là $6\text{ m}$, có hai con nhện đang di chuyển trên 2 dây tơ khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng thì con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$, còn con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con nhện bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm của $BC$ và biết rằng góc nhị diện $[C^{\prime },BC,A]=135^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $A{C}^{\prime }$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)