Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, $D(1;2;-1)$ với $a,b,c$ là các số thực khác 0. Biết rằng bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là lớn nhất, giá trị $a+b+c$ bằng

Chọn C.
Bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng tức là $D\in (ABC)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(ABC)$, ta luôn có $d(O,(ABC))=OH\le OD$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $H\equiv D$, tức là mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với $OD$ tại $D$.
Khi đó $(ABC)$ có VTPT là $\overrightarrow{OD}=(1;2;-1)$ và đi qua $D(1;2;-1)$:
$$1(x-1)+2(y-2)-1(z+1)=0⟺x+2y-z-6=0⟺\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-6}=1.$$
Từ dạng phương trình đoạn chắn, ta có $a=6$, $b=3$, $c=-6$.
Vậy $a+b+c=6+3+(-6)=3$.