Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A,SA\perp (ABC)$. Biết mặt bên $(SBC)$ tạo với đáy một góc $45^{\circ }$ và $AB=AC=2a$. Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Chọn B.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.
Vì $△ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=AC=2a$ nên $AH\perp BC$ và $AH=\frac{BC}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}$.
Ta có $BC\perp AH$ và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) $\Rightarrow BC\perp (SAH)$.
Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SHA}=45^{\circ }$.
Trong mặt phẳng $(SAH)$, kẻ $AK\perp SH$ ($K\in SH$).
Vì $BC\perp (SAH)\Rightarrow BC\perp AK$, do đó $AK\perp (SBC)$, hay $d(A,(SBC))=AK$.
Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ có $\widehat{SHA}=45^{\circ }$ nên tam giác $SAH$ vuông cân tại $A$.
Khi đó đường cao $AK$ cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:
$AK=\frac{SH}{2}=\frac{AH\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=a$.
Vậy khoảng cách cần tìm bằng $a$.