Tập nghiệm của bất phương trình $9^x-2(x+5)3^x+9(2x+1)\ge 0$ là $S=[a;b]\cup [c;+\infty )$. Khi đó $a-2b+c$ bằng

Chọn A.
Biến đổi bất phương trình:
$9^x-2(x+5)3^x+9(2x+1)\ge 0\iff (3^x{)}^2-(2x+10)3^x+(18x+9)\ge 0$.
Phân tích thành nhân tử:
$(3^x{)}^2-9\cdot 3^x-(2x+1)3^x+9(2x+1)\ge 0\iff 3^x(3^x-9)-(2x+1)(3^x-9)\ge 0\iff (3^x-2x-1)(3^x-9)\ge 0$.
Xét hàm số $g(x)=3^x-2x-1$ trên $\mathbb{R}$:
$g^{\prime }(x)=3^x\ln 3-2$; $g^{\prime \prime }(x)=3^x(\ln 3{)}^2>0$ nên $g^{\prime }(x)$ đồng biến.
$g^{\prime }(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x_0={\log }_3\left(\frac{2}{\ln 3}\right)$.
Ta nhận thấy $g(0)=3^0-2(0)-1=0$ và $g(1)=3^1-2(1)-1=0$.
Do $g^{\prime \prime }(x)>0$ nên đồ thị hàm số lồi xuống, suy ra:
$g(x)\le 0\iff x\in [0;1]$ và $g(x)\ge 0\iff x\in (-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$.
Xét thừa số thứ hai: $h(x)=3^x-9\ge 0\iff 3^x\ge 3^2\iff x\ge 2$.
Bảng xét dấu của tích $P(x)=g(x)\cdot h(x)$:
- Trên $(-\infty ;0)$: $g(x)>0,h(x)<0\Rightarrow P(x)<0$.
- Tại $x=0$: $P(0)=0$.
- Trên $(0;1)$: $g(x)<0,h(x)<0\Rightarrow P(x)>0$.
- Tại $x=1$: $P(1)=0$.
- Trên $(1;2)$: $g(x)>0,h(x)<0\Rightarrow P(x)<0$.
- Tại $x=2$: $P(2)=0$.
- Trên $(2;+\infty )$: $g(x)>0,h(x)>0\Rightarrow P(x)>0$.
Do đó nghiệm của bất phương trình $P(x)\ge 0$ là:
$S=[0;1]\cup [2;+\infty )$.
Suy ra $a=0,b=1,c=2$.
Vậy $a-2b+c=0-2(1)+2=0$.