Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình hình thoi tâm $O$ cạnh $a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tính góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt{5}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $30^{\circ }$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $CD$, $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BE$. Độ dài đoạn $SH$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ và $SA\perp (ABC)$.
a) Chứng minh tam giác $SBC$ là tam giác vuông.
b) Biết rằng $AB=AS=a$, tính góc giữa đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(SAC)$.

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=2a\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên CC' tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Tính cosin góc tạo với $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$, (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$, $AD=2AB=2BC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$.

Một tấm cầu độc kê bậc thềm được làm bằng bê tông như hình vẽ sau. Biết $BCFE$ là hình vuông có cạnh $CE=2m$ và $AB,DE$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ADFC)$. Biết rằng góc giữa $BC$ và mặt phẳng $(ADFC)$ là $10^{\circ }$. Tính chiều cao của độc kê (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2m$. Cho biết $AB=1m$, $AD=\sqrt{7}m$. Tính góc giữa BD và đáy hố ( có thể coi rằng đáy hố là một mặt phẳng)