Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$, $AB=5a,SD=\sqrt{106}a,SA=5a$. Tính số đo góc phẳng nhị diện $[A,CD,S]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $S{D}^2=S{A}^2+A{D}^2\Rightarrow A{D}^2=106a^2-25a^2=81a^2\Rightarrow AD=9a$.

Nhị diện $[A,CD,S]$: cạnh là $CD$, mặt phẳng chứa $A$ và $CD$ là $(ABCD)$, mặt phẳng chứa $S$ và $CD$ là $(SCD)$.

Trong $(ABCD)$, kẻ $AH\perp CD$ tại $H$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AH=AD=9a$). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$, kết hợp $AH\perp CD$ suy ra $CD\perp (SAH)$, do đó $SH\perp CD$. Vậy góc nhị diện $[A,CD,S]$ là $\widehat{SHA}$.

Tam giác $SAH$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{5a}{9a}=\frac{5}{9}$.

$\widehat{SHA}=\arctan \left(\frac{5}{9}\right)\approx 29,05^{\circ }$.