Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tâm $O$, cạnh $a\sqrt{2}$. Biết $SA=2a$ và $SA\perp (ABCD)$. Tính khoảng cách:

a) Từ $A$ đến $(SBC)$.

b) Từ $A$ đến $(SCD)$.

c) Từ $A$ đến $(SBD)$.

d) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính khoảng cách từ $A$ đến $(SCM)$; Từ $A$ đến $(SDM)$.

e) Gọi $I$ là trung điểm $SB$, tính khoảng cách từ $A$ đến $(DIM)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0)$, $B(a\sqrt{2},0,0)$, $C(a\sqrt{2},a\sqrt{2},0)$, $D(0,a\sqrt{2},0)$, $S(0,0,2a)$.

a) Vì $AB\perp SA$ và $AB\perp BC$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $AB\perp (SBC)$, suy ra $d(A,(SBC))=AB=a\sqrt{2}$.

b) Tương tự $AD\perp SA$, $AD\perp CD$ nên $AD\perp (SCD)$, suy ra $d(A,(SCD))=AD=a\sqrt{2}$.

c) Đường chéo hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$ là $AC=BD=2a$, nên $AO=a$. Vì $AO\perp BD$ và $AO\perp SA$ nên $AO\perp (SBD)$, do đó $d(A,(SBD))=AO=a$.

d) Vì $M\in BC$ nên $(SCM)\equiv (SBC)$, do đó $d(A,(SCM))=a\sqrt{2}$.

Với $(SDM)$: $M\left(a\sqrt{2},\frac{a\sqrt{2}}{2},0\right)$. Ta có $\overrightarrow{DS}=(0,-a\sqrt{2},2a)$, $\overrightarrow{DM}=\left(a\sqrt{2},-\frac{a\sqrt{2}}{2},0\right)$, nên
$$\overrightarrow{DS}\times \overrightarrow{DM}=\left(a^2\sqrt{2},2a^2\sqrt{2},2a^2\right)\parallel (1,2,\sqrt{2}).$$
Mặt phẳng qua $D(0,a\sqrt{2},0)$: $x+2y+\sqrt{2}z=2a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ $A$:
$\overrightarrow{DI}$$\times$$\overrightarrow{DM}$=\left($\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$,\,a^2\sqrt2,\,$\frac{3a^2}{2}$\right)\parallel(2,4,3\sqrt2).d=$\frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{4+16+18}}$=$\frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{38}}$=$\frac{4a\sqrt{19}}{19}$.$$

Kiểm tra lại: $\frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{38}}=\frac{4a\sqrt{2}\cdot \sqrt{38}}{38}=\frac{4a\sqrt{76}}{38}=\frac{4a\cdot 2\sqrt{19}}{38}=\frac{4a\sqrt{19}}{19}$ — đúng. Tương tự $\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{14}}{7}$ — đúng. Các kết quả: a) $a\sqrt{2}$; b) $a\sqrt{2}$; c) $a$; d) $(SCM)$: $a\sqrt{2}$, $(SDM)$: $\frac{2a\sqrt{14}}{7}$; e) $\frac{4a\sqrt{19}}{19}$.