Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA\perp (ABC)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên $BC$ và $DC$ sao cho $MB=\frac{a}{2}$, $DN=\frac{3a}{4}$. Chứng minh rằng $(SAM)\perp (SMN)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông với độ dài cạnh đáy bằng $2a$. Tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$.

(3 điểm) Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB=2a,AD=DC=a$, $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a$.

a) [2, Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc] Chứng minh $(SBC)\perp (SAC)$.

b) [2, Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng] Tính $\tan \left(SD,(SAC)\right)$.

c) [3, Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng] Gọi $M$ là điểm thuộc đường $SC$ sao cho $\overrightarrow{SM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $(SBD)$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác có $AB=3a,AC=4a,\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $O$ của cạnh $AC$. Cho biết $SO=a\sqrt{5}$.

a) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng $(SAB)\perp (SOH)$. (1.0 điểm)

b) Xác định và tính góc giữa đường thẳng $SH$ và $(ABC)$. (1.0 điểm)

c) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $SB,SC$. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(OIJ)$. (1.0 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA\perp (ABCD)$ , $SA=4a$ .

a) Chứng minh rằng $(SBC)\perp (SAB)$ . $(1,0điểm)$

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ . $(1,0điểm)$

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SA$ và $T$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $ST=\frac{2}{3}SB$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(CMT)$ . $(1,0điểm)$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a,AD=a\sqrt{3}$. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và $SA=a\sqrt{2}$.