Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),H(a/2;0;0),I(a;a/2;0),S(a/2;0;a\sqrt{3}/2)$ (vì $SAB$ đều, $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $S$ nằm trong mặt phẳng qua $H$ vuông góc $AB$).
a) Trong tam giác đều $SAB$ có $SH\perp AB$, mà $AB=(SAB)\cap (ABCD)$ và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$. Đúng.
b) Vì $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$, và $AD\perp AB$ nên $AD\perp (SAB)$. Đúng.
c) Mặt phẳng $(SAB)$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(0;1;0)$. Mặt phẳng $(SAD)$ qua $A(0;0;0),D(0;a;0),S(a/2;0;a\sqrt{3}/2)$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3};0;-1)$. $\cos ((SAB),(SAD))=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=0$, nên góc giữa hai mặt phẳng bằng $90^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.
d) Với $a=2$: $(SHC)$ có $\overrightarrow{SH}=(0;0;-\sqrt{3}),\overrightarrow{SC}=(1;2;-\sqrt{3})$, pháp tuyến ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{SH}\times \overrightarrow{SC}=(2\sqrt{3};-\sqrt{3};0)$. $(SDI)$ có $\overrightarrow{SD}=(-1;2;-\sqrt{3}),\overrightarrow{SI}=(1;1;-\sqrt{3})$, pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(-\sqrt{3};-2\sqrt{3};-3)$. Kiểm tra: ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=-6+6+0=0$, nên $(SHC)\perp (SDI)$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SH\perp AB$ (tam giác đều) và $(SAB)\perp (ABCD)$ với giao tuyến $AB$ nên $SH\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$, $AD\subset (ABCD)$ và $AD\perp AB$ nên $AD\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(SAB)$ là $(0;1;0)$, pháp tuyến $(SAD)$ là $(\sqrt{3};0;-1)$, tích vô hướng bằng 0 nên góc giữa hai mặt phẳng là $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa với $a=2$: pháp tuyến $(SHC)$ là $(2\sqrt{3};-\sqrt{3};0)$, pháp tuyến $(SDI)$ là $(-\sqrt{3};-2\sqrt{3};-3)$; tích vô hướng $=-6+6+0=0$ nên hai mặt phẳng vuông góc.